Сергей Павлович, в беседе вы рассказывали о ряде революционных открытий в математике и синергетике. Как лично вы вступили на новую дорогу в исследованиях, каким образом открытые нелинейные системы оказались в центре вашего внимания?
- Что касается открытости систем, то закрытых в природе, по сути дела, нет. Это только термос, в котором заключена нагретая жидкость, да еще несколько столь же редко встречающихся искусственно созданных конструкций удовлетворяют требованию автономности от среды. В них, действительно, все процессы идут к выравниванию температур, неоднородностей, всплесков. В жизни же любая система связана потоками энергии и вещества с окружающим миром. И почти те же самые слова я мог бы сказать о нелинейности. Копни чуть глубже - и ты всегда ее обнаружишь. Правда, у многих открытых систем есть термодинамическая ветвь, но важно, что это не единственный путь их развития. Я работаю в Институте прикладной математики имени М. В. Келдыша АН СССР и многие годы участвую в математическом моделировании различных физических, технических и - совсем немного - биологических процессов. В частности, вместе с академиком А. А. Самарским я участвовал в постановке вычислительного эксперимента в области физики высокотемпературной плазмы. Там присутствует термоядерный источник тепла, который с ростом температуры начинает работать интенсивнее, а это, в свою очередь, вызывает повышение температуры. Уравнения, описывающие процессы в плазме, существенно нелинейные. Чтобы решить их, необходимо использовать мощные компьютеры. Этим как раз мы и были заняты. И вот в процессе получения решений этих и подобных им нелинейных дифференциальных уравнений постепенно рождались мысли, о которых вкратце шел рассказ в прошлый раз. Что же до плазмы, то новая идеология позволила понять, что в ней образуются области локализации процессов - структуры, неоднородности - и, чтобы их возбудить, энергию надо подавать не вообще куда-нибудь, а в строго определенные "точки акупунктуры", что дело даже не в самой подводимой энергии, а в топологии ее распределения в пространстве. Кроме того, события, происходящие в нелинейных средах, вызывают в памяти древний символ "инь-ян": для поддержания динамического равновесия включаются процессы, противоположные только что действовавшим.
- Сергей Павлович, случайно ли в вашей лексике появились явно выраженные восточные элементы: акупунктура, инь-ян?
- Наверное, нет, не случайно. Мои коллеги, да в какой-то мере и я, с большим вниманием изучаем различные представления о мире, сложившиеся у людей в разные эпохи и в разных странах. В этом особенно интересны инварианты культуры, позволяющие уйти от господствующей парадигмы, "расшатать" наше видение мира, обнаружить новые способы его постижения. В частности, очень важно знакомство с основами восточных философий. Тут огромную помощь оказала нам "Японская художественная традиция", книга, написанная Татьяной Петровной Григорьевой. Удалось обнаружить не менее двухсот совпадений мыслей и взглядов, о которых идет речь в этой работе, с тем, чем заняты ученые в науке о самоорганизации - синергетике. Конечно, это игра ума, но игра конструктивная, эвристичная, позволяющая увидеть нечто новое или как минимум разглядеть аналогию во внешне ничем не похожих вещах. И главное: древние мудрецы рассуждали о Увидеть общий корень хаосе и порядке, о внутреннем устройстве мира, то есть о тех же самых вещах, что волнуют теперь и нас. Привести пример, характерный для изучаемых совпадений в воззрениях древних философов и некоторых нынешних математических исследованиях, не так легко - разговор получается слишком уж специальным. Но вот вам ситуация, описанная в одной из наших работ. Выяснилось, что в некоторых пространственных точках тепловых структур процессы идут так, как они шли во всем объеме системы в прошлом, а в некоторых - так, как им еще только предстоит протекать в будущем по всей структуре. В то же время все эти участки существуют в настоящем. Это не просто рассуждения, но вполне точный математический результат. И в древних учениях мы тоже находим указание на то, что будущее (!) и прошлое переплетены в настоящем. Дело в том, что в современной математике интенсивно развивается аппарат, позволяющий ответить на вопросы: куда идут процессы, каковы внутренние тенденции развития процессов, когда пройдет достаточно много времени? Для некоторых классов нелинейных уравнений удалось установить, что развитая стадия процессов приводит к возникновению структур различных типов, описываемых так называемыми инвариантно-групповыми решениями. Эти решения играют роль аналогов второго начала для открытых нелинейных систем. В них пространство и время не свободны, а связаны инвариантами. Для определенных типов инвариантно-групповых решений показано, что процессы вблизи центра сегодня идут, как шли во всей структуре в прошлом, а на периферии структуры сейчас идут, как пойдут во всей структуре в будущем. Одна из задач, которую мы тут решаем,- избавление от въевшихся в сознание мифов, будто внешним воздействием на сложную систему ее всегда можно коренным образом перестроить, как нам хочется. Нет, это странный для нашего времени идеализм.
     Мозг, психика, экономика, экология - все это сложнейшие, если их попытаться описать математически, открытые нелинейные системы, и управлять ими "командными", "административными" методами не удается, необходимо учитывать структурирование, происходящее в них по законам самих этих систем. Древние мудрецы понимали это, как ни обидно, куда лучше нас, идея саморазвития сущего была им доступна, более того, определяла их философию, их мировоззрение. На Древнем Востоке, в Элладе философы развивали идеи о непроявленных потенциальных формах, скрытых в едином начале. Конечно, рассуждения их были чисто умозрительными, они не обладали ни математическим аппаратом, ни методологией проверки своих идей в эксперименте. Сегодня же экспериментально и на математических моделях обнаружено, что в природе - в химии, физике плазмы, в твердом теле, в астрофизике, в некоторых активных биологических средах (например, в процессах, идущих в сердечной ткани) - существуют многочисленные явления самоорганизации и возникновения структур в виде локализованных на определенных участках среды процессов или же процессов, имеющих определенную геометрическую форму и перемещающихся по среде.
     Но, конечно, это происходит не во всех средах и далеко не при всех условиях. Поэтому необходимо установить, какие именно среды способны к самоорганизации, какие структуры возникают на них, единственна ли создающаяся структура или возможен целый спектр их, как все это зависит от свойств среды, ее параметров. Так, в синергетике ставится одна из фундаментальных задач этой науки - поиск собственных функций нелинейной среды, то есть устойчивых способов организации процессов в ней, которые ей адекватны и к которым эволюционируют все другие состояния среды. А дальше возникает вопрос уже почти чисто философского звучания. Вот перед нами некая среда, и мы, пользуясь определенным запасом энергии и свойственной человеку уверенностью, будто ему дозволено делать с природой все, что заблагорассудится, пытаемся навязать этой среде какую-то организацию,- например, заставляем ее быть нагретой до высокой температуры в определенной области, удерживаем ее в некоторой геометрической конфигурации внешними полями, и так далее. Очень часто так именно и поступают, даже с экологической средой. И именно экология показала, что с открытой нелинейной системой подобный подход не дает ожидаемых результатов. Если не учитывать собственные тенденции развития процессов в данной среде, то, как ни старайся, ничего на ней не построишь. Можно как угодно менять характер воздействия на нее, деформировать ее самым жестоким образом, а она все равно "свалится" на одно из устойчивых своих состояний - на свои собственные функции. Это правила запрета. Они говорят, что бессмысленно тратить энергию и время на насилие над сложными системами. Надо знать, как они функционируют, и с минимальными усилиями возбуждать то, что им адекватно. Нужно учитывать собственные реакции системы на внешние воздействия.
     Кстати, об умозрительности и абстрактности рассуждений, свойственных ученым древности. Вовсе не в старинных фолиантах, а во вполне современных изданиях приходилось читать, например, что некий американский специалист по математической биологии, попав на конгресс по синергетике в ФРГ и прослушав доклад о не раз уже упоминавшейся нами гидродинамической неустойчивости, приводящей к возникновению бенара, вдруг пришел к выводу, что ячейки эти похожи на рисунки наркоманов, когда тех просили изобразить по памяти свои зрительные галлюцинации. И тут же родилась гипотеза: наркотики действуют на психику таким образом, что изображение, которое видит человек, становится неустойчивым. Однако при определенной дозировке перед глазами наркомана возникают устойчивые структуры, организованные наподобие "бенаров". Чем эта гипотеза современного ученого лучше и серьезнее, нежели критикуемые нами за свою "поверхностность" и "недоказанность" утверждения древних?
- Позвольте тогда уж и мне привести цитату, заранее заготовленную перед встречей с вами. Фримен Дайсон, американский физик-теоретик, в работе "Нарушая покой Вселенной" писал: "По мере того, как будут углубляться наши знания в биологии, мы столкнемся с тем, что различия между биологией и электроникой станут все более стираться". Как выглядит эта в высшей степени непривычная мысль в свете нынешних исследований? В самом ли деле пришла пора утверждать, что наука вплотную подобралась к пониманию единых основ всего сущего, живого и неживого, естественного, природного и искусственного, созданного рукой человека,-"биологии" и "электроники", если пользоваться терминами Ф. Дайсона?
- Слова его не надо, конечно, воспринимать буквально. То, что сделано сегодня,- только приближение к некоторому очень важному и кардинальному рубежу, только предчувствие грядущих радикальных перемен. Создаваемые математиками методы решения нелинейных дифференциальных уравнений - это пока не слишком универсальный инструмент для проникновения в тайны пространственно-временной архитектуры тех сложнейших систем, что окружают нас. И в то же время нельзя не сказать, что прорыв в доселе неизвестную область всетаки сделан. Он стал возможным благодаря появлению мощных компьютеров, ибо практически все предлагаемые нами способы решения требуют гигантских вычислительных возможностей, которыми прежние ЭВМ не обладали. Тьюрингу же вообще приходилось просчитывать свои модели морфогенеза вручную, и он пророчески указывал в своей работе, что более точный и полный анализ, возможный при использовании компьютера, позволит глубже понять суть явлений, описанных им лишь приблизительно. Появление в научных подразделениях современной могучей вычислительной техники не просто облегчает труд ученых и расширяет диапазон их исследований,- на мой взгляд, нынешняя тотальная компьютеризация способна изменить парадигму науки.
     Взять те же нелинейные дифференциальные уравнения. Точное, аналитическое решение их мы в подавляющем большинстве случаев получить не в силах, численные же решения ранее даже не рассматривались ввиду необозримого объема работы. Поэтому вольно или невольно все наблюдаемые процессы сводились к более простым, линейным, мы как бы закрывали глаза на то, что природа вовсе не обязана быть такой, чтобы нам удобно было описывать ее теми уравнениями, с которыми мы знаем, как работать. Теперь же этот внутренний запрет не давит более на сознание исследователя. Мы все больше сознаем, что мир - это эволюция нелинейных систем, что он многомерен, многовариантен. Как классическая ньютонианская физика оказалась лишь частным случаем релятивистской эйнштейновской, так и закрытые системы, и стремление процессов к термодинамической ветви, по преимуществу изучаемые нами до сих пор, выглядят теперь лишь вырожденными открытыми, или частным случаем неравновесной термодинамики. И точно так же нелинейная вселенная гораздо богаче "линейного" мира, ибо она включает его в себя как одну из миллионов возможностей. Поэтому нелинейные уравнения, к пониманию которых мы с помощью вычислительных машин и нелинейной математической физики теперь подошли совсем близко, соединяют в себе множество линейных, привычных уравнений, то есть и тут мы поднимаемся на следующий этаж общности, генерализации нашего взгляда на природу и присущие ей законы.
- В таком случае хотелось, чтобы в заключение вы сказали хотя бы несколько слов об этих новых законах, контуры которых стали проглядывать в исследованиях нелинейных структур.
- Поскольку речь пойдет о вещах сугубо научных, о математике, доступной лишь профессионалам, я вынужден быть весьма приблизительным в своих словах. С этой оговоркой прежде всего хочу сказать о теории универсальности, построенной американским математиком М. Фейгенбаумом. Он успешно использовал в своей работе ЭВМ и сумел вывести удивительные закономерности.
     Между хаосом и порядком существует, как выяснилось, глубокая связь, которую удалось зафиксировать с помощью уравнений, относящихся к классу так называемых функциональных, теория которых начала усиленно развиваться в последнее время. Непериодический, случайный процесс возникает как предел все более сложных структур, хаос появляется в результате сверхсложной организации! Можно сказать, что системы, где наблюдаются множественные ветвления - бифуркации, достигают в своем развитии такой степени запутанности, что эта сложность становится уже беспорядком - детерминированным хаосом, как принято говорить в таких случаях в науке. Это вывод чрезвычайно общий - он относится, например, и к моделям экологии, и к моделям гидродинамики, и во многих случаях теория универсальности дает важные качественные предсказания.
     Разговоры о свойствах хаоса - отнюдь не абстрактные упражнения математического ума. Задач, где хаотические режимы представляют особый интерес, сейчас появилось в изобилии. Например, установлено, что за прошедшие несколько миллионов лет магнитное поле нашей планеты много раз меняло свою ориентацию, вероятно, хаотическим образом. Но вот теперь оказалось, что в самой простейшей модели, состоящей всего из двух вращающихся дисков, магнитные поля которых взаимодействуют, обнаруживаются подобные же явления. Они выявились при решении системы трех обыкновенных дифференциальных уравнений, где есть странный аттрактор - это так называемая модель динамо Рики-таке.
     Другой пример - локализация Андерсона, явление, состоящее в том, что если создать нерегулярную, хаотическую решетку взамен периодической структуры, свойственной решеткам кристаллов, то электрон, движущийся через нее, оказывается локализованным на определенном участке пространства. Классическая задача физики твердого тела допускает, таким образом, совершенно новое, нетривиальное решение. Локализация Андерсона и сама по себе имеет большое теоретическое и даже прикладное значение, но важно еще, что с ее помощью физики надеются решить одну из самых фундаментальных проблем своей науки - феномен пленения кварков. Суть ее вот в чем. Длительные, дорогостоящие и очень непростые эксперименты, проведенные на гигантских ускорителях, до сих пор не позволили разбить элементарные частицы на составляющие их кварки. И многие физики постепенно приходят к выводу, что усложнение техники, совершенствование методики опытов ничего не дадут,- дело не в недостатках постановки экспериментов, а в фундаментальных свойствах материи. А именно выдвигается идея: на сверхмалых масштабах и временах ее неотъемлемое качество - хаос. Если выяснится, что предположение это истинно, то эффект пленения кварков и локализация Андерсона могут оказаться близкими по сути явлениями. Таким образом, новые представления развеивают один из мифов старой парадигмы, согласно которому любой процесс в конечном итоге приходит в своем развитии к термодинамической ветви, то есть к выравниванию, деструкции, максимуму энтропии. Диссипативные процессы оказываются не злом, не фактором разрушения, а важной составной частью самоорганизации. Ведь что такое по сути своей диссипация? Это хаос на микроуровне: теплопроводность, диффузия, вязкость - все они обусловлены хаотическим движением атомов и молекул. И вот теперь становится ясным, что хаос на микроуровне играет существенную роль в определении тенденций, "целей" различных процессов на макроуровне. Более того, без него ничего не получается. В синэргетике существует даже принцип, пока правда полуэмпирический, то есть строго не доказанный: в любой сложной самоорганизующейся нелинейной системе должны быть диссипативные процессы, другими словами - необходима определенная доля хаоса на микроуровне, которая играет роль силы, выводящей систему в область создания сложной структуры. Есть некоторые, пусть пока и осторожные, основания полагать, что подобный принцип применим и к социальноэкономическим системам, во всяком случае в работах основоположников синергетики Пригожина и Хакена есть неоднократные ссылки на экономические и социологические труды. Вот мы стремимся сейчас придать хозяйственному механизму большую динамичность, способность к самоорганизации с помощью элементов хозрасчета, через растущую роль денежного обмена. "Рыночный хаос" призван сыграть роль случайного процесса, который, независимо от желания и указаний, должен вывести народное хозяйство на определенные типы структур в "экономической среде". Разумеется, эти рассуждения - не более чем аналогии, но они важны, ибо основываются на самых общих принципах сложных систем. Конечно, из них пока не следует конструктивных рекомендаций для экономики, социологии, экологии, но они дают фундаментально новые представления о законах развития изучаемых этими науками открытых нелинейных систем. Если же, отвечая на ваш вопрос, говорить о делах более конкретных, то в последние годы открыты закономерности объединения простых структур в сложные - установлен своего рода "принцип суперпозиции" для определенного класса нестационарных нелинейных систем. Он основан не на складывании частных решений, которое в данном случае невозможно, а на их своеобразном "пересечении" с возникающим при этом дефектом мощности процесса, который на квазистационарной стадии аналогичен дефекту массы и энергии при объединении ядерных частиц. Еще один вклад в изменение устаревших взглядов на законы развития открытых нелинейных систем состоит в том, что теоретически доказана принципиальная множественность путей их саморазвития. Разработан математический аппарат, позволяющий для пока простого класса нелинейных моделей предсказать спектр собственных функций и способы инициирования их в данной среде. В зависимости от степени нелинейности модели таких путей и соответствующих им структур даже в простейших теоретически исследованных средах может быть хоть 10**15. Это гигантское число красноречиво говорит о том, что и самые простые нелинейные модели глубоко содержательны. Они описывают огромный класс структур. Структуры эти могут быть весьма разнообразными - иметь различную архитектуру. Получается, что одна и та же среда способна содержать в себе практически необъятное многообразие форм и путей их развития. Это обстоятельство чрезвычайно подкупает. Во-первых, для некоторых простых сред удается сформулировать новые математические методы,- например, ряд новых методов изучения решений нелинейного уравнения диффузии, описывающих развитую нелинейную стадию и выход из нее. А во-вторых - свести многообразие форм различных структур к единому началу, к среде, в которой в потенциальной, непроявленной форме уже содержатся все возможные для данной среды структуры. Эти подходы означают, что и в такой среде, как наука, появилась методология борьбы с бесконечной дифференциацией дисциплин, возник новый мощный интегративный импульс. Между тем одна из главных целей научного познания мира - увидеть общий корень у самых различных явлений. Кроме того, из сказанного следуют и выводы мировоззренческого порядка. Раз существует много путей развития процессов, значит, нет жесткого детерминизма, железной предопределенности, заданности. В то же время в момент бифуркации (неустойчивости) решения выбор того или иного пути происходит случайно, но все-таки не как угодно, а на поле возможных решений. Видна аналогия с детерминированным вероятностным поведением элементарных частиц, но в отличие от квантовой механики оно не постулируется, а вытекает из свойств нелинейных систем строго математически. Например, в уже упоминавшейся в нашей беседе задаче Тьюринга возможно несколько путей развития, ведущих к различным стационарным структурам. Какой из них будет выбран - каждый раз решает случай: флюктуации в данный миг толкнут систему к одному пути, в следующий - к другому. Система закономерным образом скатывается к одному из присущих ей аттракторов, но к какому именно в каждый момент - заранее предугадать невозможно. Закономерность и случайность проявляют себя на разных стадиях, создавая возможности и для устойчивости, и для изменчивости эволюционного процесса, а следовательно, и для отбора путей развития, учитывающих и черты внешней ситуации. В этой особенности развития нелинейных систем видно триединство: предопределенность поля путей возможного развития (аналог второго начала термодинамики), возможность вероятностного движения по этому полю (изменчивость) и, наконец, работа отбора, обусловленного внешними влияниями (приспособляемость). И в создаваемых моделях нелинейных систем видны механизмы, осуществляющие это триединство.
     Особого внимания заслуживают так называемые режимы с обострением, то есть такие, где величины в некоторых точках растут неограниченно за конечный промежуток времени. Режимы эти подробно исследованы большой группой ученых Института прикладной математики АН СССР и МГУ под руководством академика А. А. Самарского, сотрудником и учеником которого являюсь и я. Но это - отдельная тема, и не хотелось бы комкать разговор о ней. Скажу лишь, что режимы эти связаны с локализацией процессов в пространстве. Кажется парадоксальным, но, скажем, при определенных условиях горение способно идти таким образом, что без всякого внешнего удержания тепло самолокализуется. Так происходит, например, при лазерном термоядерном синтезе - без этого мишень не "зажигается". Однако теоретический выход эффектов локализации тепла и горения гораздо шире их применения в высокотемпературной плазме. Локализация связана с определенным классом режимов с обострением, которые, в свою очередь, порождаются нелинейной зависимостью источника тепла от температуры. Это необычайно своеобразный мир сверхбыстрых процессов.
     С такими новыми представлениями связаны и другие парадоксальные явления. Скажем, теоретически обнаружена возможность существования области локализации тепла в виде кристалла, с ребрами и гранями, отделяющими места с высокой температурой от окружающего пространства. Расчеты показывают, что если максимальная температура в таком кристалле ограничена электрон-вольтами, а размеры его - парсеками, то такое космическое "теплотело" может существовать, не изменяя своей кристаллической формы, миллионы лет. Возможны и другие кажущиеся невероятными явления: попятное движение во времени в некоторых открытых диссипативных системах. Мир предстает перед нами не как составленный из отдельных "кирпичиков" (атомов), а в виде процессов наподобие вихрей, турбулентностей, волн, солитонов, диссипативных структур. Вдумайтесь, насколько фундаментальна эта идея. Простейшая среда по некоторым вполне строгим законам пятнается особыми точками, областями, структурами. А хаос в ней играет не только роль "подталкивателя" к свойственным самой среде состояниям, но и роль клея: он согласует между собой отдельные процессы, соединяя простые структуры в сложные, действуя как опытный, хотя и незаметный режиссер.
     Это, однако, повторяю, предмет специального обсуждения, которое, надеюсь, у нас с вами рано или поздно состоится.